Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Mintázat kimutatása a pí számrendszerében

2014.12.23

Szabó Gábor: Mintázat kimutatása a pí számrendszerében

 

Az MTA elnökének válasza a pí számrendszerére

 

A következőkben bemutatom, hogyan jutottam el a mintázat felismeréséhez. Véletlenül eggyel eltolt értéket vettem fel  a sorszélesség meghatározásakor, mert a hosszú számsort blokkonként adtam össze. Így a 360-as szám, csak érdekesség, de nem alapfelállás. Azért meg akartam hagyni a véletlen találkozások folyamatának útját, tanulságul mások számára is.

 

Felismerés: A pí számjegyeinek sorában 360-ra végződik a 360. szám. Ez már a második 3-6-0 számsorrend a listában. Az első 360 értékű számérték szélességének háromszorosa szerinti tömbbe állítottam a pí értékét. Ennek eredményeképpen az első sorkezdő számok – sorrendben függőlegesen olvasva - az első 5 páratlan szám: 1 – 3 – 5 – 7 - 9.

A pí egy matematikai konstans, egy természeti állandó. A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként értelmezzük. A görög „periféria”(kerület ) szó is erre utal. A szó első betűje a pí.

„A pí eddig kiszámított egymás után következő számjegyei között előfordul néhány érdekes részlet: többször is a 01234567890 és a 09876543210; egyszer a 314159265358; egyszer a 271828182845, (ami az e természeti állandó); egyszer az 111111111111; egyszer a 666666666666; egyszer a 777777777777; egyszer a 888888888888; egyszer a 999999999999.” /materd.uw.hu/

Ezek a részletek a véletlenszerűségből adódnak, nem köthetőek rendszerhez. A számjegyek között eddig nem találtak semmiféle ismétlődési mintát.

Már a Bibliában is előfordul a pí:

1Kir 7:23  „És csinála egy öntött tengert, mely egyik szélétől fogva a másik széléig tíz sing volt, körös-körül kerek, és öt sing magas, és a kerületit harminc sing zsinór érte vala körül.”

A pí értékét ebben az esetben háromnak határozza meg. Ugyanez szerepel a II Krónika 4.2-ben.

Amennyiben a pí számjegyeit a tizes számrendszerben vizsgáljuk, és a kör 60-as számrendszer szerinti felosztásából származtatható 360-as számnak a sorozatban első előfordulása szerinti számelemeit, - a sorozat első tagjaként szereplő 3 egész figyelembevételével - háromszor vesszük, a pí elemeit ennek megfelelő sorszélességű tömbbe állítjuk, akkor az ilyen rendszer szerint képzett számsorozat tömbjének kezdő tagjai függőleges irányban, az első egyjegyű páratlan számok sorát alkotják.

Rendszer a pí (3,1405…) számjegysorában

A pí esetében az irracionalitás következtében magyarázhatjuk, hogy nem látunk ismétlődéseket. Az eddig alkalmazott módszerekkel nem sikerült rendszert kimutatni a számhalmazban.

A National Geographic folyóiratban ng.hu jelent meg, a „Titkos_mintát_rejtegetnek_a_pi_tizedesei” címmel egy tudományos ismertető írás.

„A Purdue Egyetem két fizikusa arra gondolt ugyanis, hogy a pí közismerten jó „véletlenszám-generátor”, vagyis a tizedesek előfordulását véletlenszerűnek tartják ebben a mágikus számban. Éppen ezért teszt alá vetették a pít, és összehasonlították más véletlenszám-generáló módszerekkel, harminc számítógépes szoftverrel és egy kaotikus fizikai rendszerrel. Kiderült, hogy a pí „teljesítménye” nem rossz ugyan, de például a számítógépes programoktól szignifikánsan (jelentősen) elmarad, ugyanakkor néhány más módszernél azért hatékonyabbnak tűnik a „mágikus” számot használni.

Mindez arra a következtetésre juttatta a két fizikust, hogy talán a pí számjegyei mégsem teljesen véletlenszerűek, esetleg valamilyen szabályszerűség megfigyelhető az irracionális szám tizedesei között. Shu-Ju Tu és Ephraim Fischbach, a Purdue két említett kutatója természetesen nem állítja biztosan az International Journal of Modern Physics C tudományos folyóiratban megjelent cikkében, hogy valamilyen „kód” rejlik a píben, mindössze annyit sugallnak – pestiesen szólva –, hogy valami éppenhogy „stimmel” benne, és ezért további kutatásokat, vizsgálatokat javasolnak a pível kapcsolatban. Fischbach a német Spiegel Online híradása szerint arra is rámutatott például, hogy egyetemükön eddig a pí ismert tizedesjegyeinek mindössze 1 százalékát vizsgálták meg a matematikusok, vagyis távol állnak attól, hogy mindent ismerjenek ezzel a számmal kapcsolatban.

Mindez például a kriptográfiai eljárásokban, a titkosítási procedúrákban gyakorlati jelentőséggel is bír, minél véletlenszerűbben fordulnak ugyanis elő a számjegyek, annál nehezebb megfejteni a titkos kódot. De például tudományos kísérletekhez is szükség van sokszor véletlenül előálló számokra, ezekhez is alkalmazták eddig a pít. Elméletileg egyébként éppen az ember által készített szoftvereknek kéne rosszabbaknak lenniük a véletlenszám-generálásban, hiszen azok a számok nem lehetnek teljesen véletlenek, amelyek előállítására szabályszerű utasításokból összerakott számítógépes program írható…

De hogyan vizsgálták az amerikai kutatók a pí véletlenszerűségét? A mágikus szám első százmilliárd tizedeséből tízjegyű szekvenciákat csináltak, majd ezek elé a szekvenciák elé egy nullát és egy tizedesvesszőt írtak. Például 1415926535 sorozatból 0, 1415926535-t csináltak. Ezeket a(z immár) tizedes törtszámokat egy háromdimenziós koordinátarendszerben ábrázolták. Az első szekvencia az x-tengely koordinátája lett, a második az y-tengelyé, a harmadik a z-é, és így tovább. Így pontokat kaptak, amelyek térben helyezkednek el. A szoftverek által generált számokat szintén ilyen módszerrel „ábrázolták”, majd megnézték, hogy miként helyezkednek el az így kapott értékek. (Kutatásaikhoz ők is számítógépeket alkalmaztak, hosszú hónapokig futtatták a programokat.)

Végül kiderült, hogy a pontok eloszlásakor a tökéletesen véletlenszerűséget jelző haranggörbét a szoftverek közelítik meg jobban, bár a pí is egy a tökéleteshez hasonló alakzatot generált. Ez azt jelenti, hogy a pí továbbra is jó véletlenszám-generátornak tekinthető, de a Purdue kutatói szerint tovább kellene vizsgálni a tulajdonságait. Így például nemcsak háromdimenziós térben kéne ábrázolni a pí által generált pontokat, hanem elképzelhető, hogy egy hatdimenziós koordinátarendszerben még izgalmasabb eredményeket kapnának.”ng.hu/Tudomany/2005/05/Titkos_mintat_rejtegetnek_a_pi_tizedesei/

 

A pí kódja a 360-as számsor

Felismerésem szerint a pí rendszerének titka a 360-as számban rejlik. Az, hogy a napév nagyjából 365 napból áll, a Holdév pedig hozzávetőlegesen 355 napból, és ennek középarányosa a 360, finoman azt jelzi, hogy hamarabb létezett a pí, mint hogy a Naprendszer. A számsorban annyira feltűnően ki van hangsúlyozva ez a szám, mintha szerkesztve lenne. A pí matematikai állandó, mind két, mind három, feltehetőleg a négydimenziós térben is.

Eljárásom szerint meghatároztam az első 360 számjegyet. Miért pont ekkora szakaszt vettem alapul? A számjegy meghatározása önkényes lehetne. Azonban olyan értéket kerestem, amely köthető a pí-hez, ez pedig a kör felosztása fokokra.

Miért osztjuk fel a kört hagyományosan pont 360 fokra?

A kör azért lett a régi időkben, a számtani rendszer kidolgozása idején 360°-ra felosztva, mert a kerületét a sugár hosszúságú körszelő szakaszok pont 60°-onként metszik, hatszor 60°-ra. A 60-as számrendszer használatának előnye, hogy a 60 tíz számmal maradék nélkül osztható, ezek: 2,3,4,5,6,10,12,15,20,30. Mezopotámiában a csillagászati számításokhoz előnyös volt ez a számrendszer. De a tizenkettes számrendszernek is ősi gyökerei vannak:

„A tizenkettes alapú számlálásnak az alapja ugyanúgy az emberi anatómia, mint a tízes számrendszer elterjedésénél, de itt a számlálásnál nem a két kéz ujjait használták, hanem a kéz mutató- középső- gyűrűs- és kisujjának ujjperceit (4×3=12), amiket számolás közben hüvelykujjal megérintve követhetővé válik a művelet. A fizetéssel kapcsolatban gesztussá vált mozdulat - az ujjak hegyének összedörzsölése - is erre vezethető vissza.” /Wikipédia.org/

„A 60-as alapú rendszert a sumér és az azt követő mezopotámiai kultúrák használták, de mint túlélőt, a ma használt időmérő rendszerben is ezt a rendszert használjuk (egy órát 60 percre osztunk, illetve 1 percet 60 másodpercre). A 60-nak, mint alapszámnak a használata azzal magyarázható, hogy elég nagy szám, ugyanakkor meglehetősen sok osztója van, különösen igaz ez az első hat természetes számra, illetve sok törzstényezője van. A 12-es számrendszer nagyon népszerű volt, mert a 12 maradék nélkül osztható 2-vel (felezhető), 3-mal (harmadolható), 4-gyel (negyedelhető), 6-tal (hatodolható). A ma használt naptárban az év 12 hónapra oszlik, 12 óra a nappal és 12 óra az éjszaka az év mind a 365 napján.[…]

Csaknem minden nyelvben külön szó van a 12 dologból álló csoportra, például a magyar „tucat”, az angol „dozen”, a német „das Dutzend”, az orosz „djuzsina” stb.”/Számítástechnika története, szit.hu/

A „tizenkettő egy tucat” mondásunk is a régi számrendszerre utal.

A pí számai más számrendszerekben teljesen más képet mutatnak. Kizárólag a tízes számrendszer szerinti felírásra igaz a jelen bizonyítás.

Ezek alapján bizonyításként elfogadható, a kör 360 fokra való felosztásának geometriai és számrendszerből eredő okai vannak. 

 

A pí számsora szakaszolva, mindig balról jobbra haladva, alapul véve az első 360-as számérték szakaszának háromszoros értékét:

3,  141592653589793 [..]393607[..]903600[…]1378

387528865875332 [………………………….…]

556209921922218 [………………………….…]

760917824938589 [………………………….…]

965725121083579 [………………………….…]

569830523580893 [………………………….…]

377647165122893 [………………………….…]

162991930645537 [………………………….....]

______________________________________________

459405165537906 [………………………….…]

999811614101002 [………………………….…]

412006597558512 [………………………….…]

424701412147805 [………………………….…]

863746459528082 [………………………….…]

522051173365856 [………………………….…]

871181909094945 [………………………….…]

173756238994207 [………………………….…]

A pí számsorának rendjében azt találtam, hogy a 360 +1 tagból álló sor vége 03600. A két 0 szám közé beállított 360-as számérték alátámasztotta, hogy helyes irányban vizsgálódom. Ezért a pí számjegyeit az első 3-6-0 tag háromszorosának megfelelő sorszélességének megfelelően állítottam be. Azt találtam, hogy az így létrehozott számtömb első számsorainak számjegyei, függőlegesen: 1 – 3 – 5 – 7 – 9, azaz a páratlan számok sora. Ezután megfordul a számsorrend visszafelé: 5 – 3 – 1. A sorrendből kimarad a 7-es szám. Viszont a számsorrend így is egy körívet írt le.

A következő sor első számjegye 4. Miért? Ha összeadjuk a felette lévő számsort, annak összege 34. A számérték négyese megtalálható itt, mint első számjegy, a harmincnak megfelelő számjegy pedig, a sor legtetején álló 3-as egész számnak feleltethető meg.

Miért választottam az első 3-6-0 tag háromszorosának megfelelő sorhosszúságot sávszélességnek?

A mintázat felismerését lehetővé tevő ötletet, Oláh András: Zászlónk és címerünk, az UFO Magazin 2007/1 számából vettem. A szerző a képírásról írt cikkében, a magyar címer képírásos magyarázatával foglalkozik. Így értettem meg, hogy a képírás rendszerében a HÁROM EGÉSZ a képírás szerint része a képírás megfejtésének. Ezért az első jelzés sorhosszát, a 3-6-0-t, amely a kör teljes EGÉSZ-ére utal, HÁROM-szor megismételtem.

Tovább folytattam a pí számrendszerének vizsgálatát. A bizonyításhoz a függőleges sor első kezdő, páratlan számjegyekből álló számsorát vettem alapul. Ahogyan az első 360 jelzését egy-egységnek határoztam meg, annak háromszorosára terjesztettem ki az első számsor hosszúságát, úgy függőlegesen is, az 1-től 9-ig terjedő öt páratlan számot EGY EGÉSZNEK beállítva, HÁROM EGÉSZT vettem függőlegesen lefelé. Ennek megfelelően az első ötödik tag ismét a 9-es, majd következőleg 8-as lett. Így haladtam összesen 15 tagot függőlegesen lefelé. Ezek után ismét 1-szám következik a rendszerben, ugyanúgy, mint a számsor első, kezdő tagja. Ez lehetne akár véletlen is. Azonban, ha ismételten újabb 15 tagot haladtam lefelé, akkor a következő újabb kezdőtag, ismételten az 1-es lesz. Ennek alapján, az e módszer szerint meghatározott 1-el kezdődő számtömb, kétszer ismétlődik meg. Ennek alapján az első bővített szakasz 30 tagot számlál.

Ha ennek a számsornak megfelelő logikát követjük, a 30. tagig terjedő számsort ismételten egy-egységnek fogjuk fel, és összesen három  egységet, háromszor harminc, azaz 90 tagot számolunk ismételten lefelé, akkor a számsor 9-re végződik, ugyanúgy, mint az alapesetnél, az első öt tagnál. De nem egyszerűen, hanem függőlegesen kétszeresen, vízszintesen pedig háromszorosan 9 számérték áll a számtömbben! Ezek után a sorban dupla 00 függőleges értéket látunk. Ez új kezdetet jelenthet.

Az első blokk függőlegesen így 90 számjegyből áll. A 9-es kiemelt érték a számsorban. A sor kezdetén az első számértéktől nézve, az 5. számjegy függőlegesen is és vízszintesen számolva a 9-es.

Ezen kívül az első három szám összege 9. Ez azért nem olyan nagy csoda. Viszont a második ötös szakasz első három számjegyének az összege 5+3+1= 9

De létezik még más felosztás is.

Számoljunk függőlegesen lefelé kilenc számjegyet. A következő 9-es sor ismét kilencessel kezdődik. Ismételten leszámolunk 9 számjegyet, majd a következő kezdőérték a 9-es. Újra haladunk lefelé 9-et. Itt a sor 9-re végződik és az új sor 9-el kezdődik. Ez azt jelzi, hogy blokkhatárra érkeztünk. Megállapíthatjuk, hogy a 9-es rendszer szerint haladva, háromszor találtuk ugyanazt a számot a vízszintes sor kezdőértékeként. Ha ismételten haladunk lefelé 27 számjegyet, azaz összesen hatszor kilenc szakaszt, akkor a jelzésértékű 0-val találkozunk. És ekkor a dupla nulláig, a 90. tagig való hátralévő távolság 36 számjegy.

Ha ismételten folytatjuk a sort, akkor a következő jelzés, a függőleges 00, a 24. számjegy után következik. A 24 köthető a píhez, 3 x 12 = 36, 2 x 12 = 24.

 Más megközelítés:

Számoljunk lefelé az első tagtól, öt számjegyet, a páratlan számok pontos sorának megfelelően. Ez egy 9-es. Számoljunk ismételten lefelé öt számjegyet. Miiért? Azért, mert a páratlan számok pontos sora öt tagból áll. Az értéke ismét 9-es. Egymás után kétszer fordul elő ötödik tagnak ez a szám, ami nem különleges esemény. Így, a 9-es számértéket figyelembevéve menjünk a sorban lefelé 2 X 5 X 9, összesen 90 lépést. A 90.-ik érték 9-es. Méghozzá úgy, hogy kétszeresen megismétlődik, majd a függőleges sor két 00-ja kezdi a számsort. Ez új kezdés jelezhet.

VÁLTOZÁS: A pi számrendszerének mintázata nem kötődik a 360 fokhoz.

Sajnálatosan, vagy igen nagy szerencse, egy számjeggyel el lett számolva a sorszélesség. Az első 360-as számhoz viszonyított háromszoros szorzó 287 X 3 = 861 helyett, 862 számjegy lett beállítva sorhosszúságnak. Oka az volt, hogy szakaszokban lett összeadva a számjegysor, és így összeadódott az első szakasz kis beállítási hibája. Viszont véletlenül, ezzel a megközelítéssel jött ki a páratlan számok sora sorkezdő számjegynek.

A 862 számjegyszélesség maradék nélkül csak kettővel osztható, azaz 2 X 431 amiből a 431 prímszám, mással nem osztható.

 Elnézést kérek minden olvasómtól a hibás felvetésért, ami azért rendkívüli eredménnyel járt.

 

Összefoglalás, a valóságos rendszer alapja: Mintázat a pi számaiban:

 Amennyiben vesszük a pi első 862 számjegyét, és az ezt követő számjegyeket, mindig ugyanilyen tagszámban folytatólagosan soronként balról jobbra írjuk,  akkor az első öt számjegy függőlegesen, az egyjegyű páratlan számok sorát alkotja.

A 862 számjegyszélesség maradék nélkül csak kettővel osztható, azaz 2 X 431 amiből a 431 prímszám, mással nem osztható.

 További érdekességek:

 Számoljunk függőlegesen lefelé kilenc számjegyet az első tagtól számítva. A következő sor ismét kilencessel kezdődik. Ismételten leszámolunk 9 számjegyet, majd a következő kezdőérték újra a 9-es. Újra haladunk lefelé 9-et. Itt a sor 9-re végződik és az új sor 9-el kezdődik. Ez azt jelzi, hogy blokkhatárra érkeztünk. Megállapíthatjuk, hogy a 9-es rendszer szerint haladva, háromszor találtuk ugyanazt a számot a vízszintes sor kezdőértékeként. Ha ismételten haladunk lefelé 27 számjegyet, azaz összesen hatszor kilenc szakaszt, akkor a jelzésértékű 0-val találkozunk. És ekkor a dupla nulláig, a 90. tagig való hátralévő távolság 36 számjegy.

 Más megközelítés:

 Számoljunk lefelé az első tagtól, öt számjegyet, a páratlan számok pontos sorának megfelelően. Ez egy 9-es. Ismételjük meg, az értéke ismét 9-es. Egymás után kétszer fordul elő ötödik tagnak ez a szám, ami nem különleges esemény. Így a 9-es számértéket figyelembevéve menjünk a sorban lefelé

 

 2 X 5 X 9, összesen 90 lépést. A 90.-ik érték 9-es. Méghozzá úgy, hogy kétszeresen megismétlődik a szám, majd a függőleges sor két 00-ja kezdi az új számsort.

 

A kérdés azért Önökben is megfogalmazódhat: Hogyan lehet egy véletlen számsorozatban rendszer?!  letöltés innen

Felhasznált irodalom:  pi.lap.hu

gyakorikérdések.hu, A tizes vagy a tizenkettes számrendszer a pontosabb a matematikához?

materd.uw.hu

National Geographic honlap

Oláh András : Zászlónk és címerünk, az UFO Magazin 2007/1

Számítástechnika története,/Sallai András/szit.hu/

Szabó Marian: Pí formulák/Szakdolgozat,2008/math.unideb.hu

 wikipédia.org

Az MTA elnökének válasza a pí számrendszerére

  MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA TITKÁRSÁG
ELNÖKI TITKÁRSÁG 
Lovász László elnök úr megbízásából küldött válasz a „További mintázat kimutatása a pí számrendszerében, Bővített változat' cím munkájára”
 
 Válasz Szabó Gábor 'További mintázat kimutatása a pí számrendszerében, Bővített változat' cím munkájára Szabó Gábor munkájában a pí tízes számrendszerbeli alakjának jegyei között keresett összefüggéseket, több különböző, néhol kicsit homályos szabályosságot követve, végül a következő kérdést veti fel: _Hogyan lehet egy véletlen számsorozatban értelem?!_
Ahhoz, hogy arról tudjunk beszélni, hogy a tízes számrendszerbeli alakja számjegyek egy véletlen sorozata-e, először definiálnunk kell, mit értünk pontosan az alatt, hogy egy konkrét, 0; : : : ; jegyekből álló végtelen sorozat véletlen. Erre számos megközelítés létezik [3], amelyek azt az intuitív képet fogalmazzák meg, hogy egy véletlen sorozathoz nem létezhet algoritmus, amely a sorozat megelőző tagjaiból jó eséllyel meghatározza a következő tagot. Könnyen látszik azonban, hogy a pí jegyei ebben az értelemben nem véletlenek. Sőt, Bailey, Borwein és Plouffe híres eredményei [2] szerint a pí tizenhatos számrendszerbeli alakjának tetszőleges jegye a megelőző jegyek ismerete nélkül is kiszámítható.
A véletlenségnél jóval gyengébb elvárás a tízes számrendszerbeli normalitás, amely azt jelenti, hogy minden számjegy azonos gyakorisággal fordul elő (tehát minden adott számjegyre és előre megadott "~e~> hibára létezik olyan n, hogy ha összeszámoljuk az adott számjegy előfordulásainak számát valamely n-ig, és ezt elosztjuk m-mel, akkor 1/10 -től legfeljebb "-nal eltérő számot kapunk). Az, hogy a pí ilyen értelemben normális szám-e mind a mai napig megoldatlan kérdése a matematikának. Még azt sem sikerült igazolni, hogy például a 7-es számjegy végtelen sokszor fordul-e elő a tizes számrendszerbeli alakban.
Azonban, még ha ezt sikerül is belátni, az koránt sem jelenti, hogy ne lehetne bizonyos, vélt vagy valós összefüggéseket találni a jegyek között (például a0123456789 sorozat előfordul a (tizes számrendszerbeli) jegyei között a1738759488026852899245302439574393454915395341952536161 és43289964000 számú jegyekkel kezdődően is).
Összességében talán az volna a legszerencsésebb, ha a szerző megpróbálna leírni egy rövid, világos, lehetőleg számítógépes programmal ellenőrizhető szabályosságot, majd ennek teljesülését vizsgálná meg egy megfelelően nagy mintán, például az első 1 millió jegyen [1].
 
Hivatkozások
[1] A million digits of Pi, http://www.exploratorium.edu/pi/pi_archive/Pi10-6.html.
[2] D. H. Bailey, J. M. Borwein, P. B. Borwein, S. Plou_e, The Quest for Pi,Mathematical
Intelligencer19, no. 1, 50_57.
[3] S. B. Volchan, What Is a Random Sequence? The American Mathematical Monthly109
(2002), 46_63.
 

 

 

 
 

Hozzászólások

Hozzászólások megtekintése

Nincs új bejegyzés.